数学好きが「複利計算の公式」をガチで証明してみた【FP3級】

2020年12月24日2022年11月9日

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FPの勉強をしてたら、こんな公式が出てきた。

$$元利合計={元本}×(1+{年利率})^{年数}$$

元利合計とは、元本と利息の合計という意味らしい。

複利で運用した場合、元本と利息の合計はいくらになってるかを瞬時に求められる式らしいのだけど、

こんなん絶対覚えられない！

ううーむ…困った。

あ、そうだ

覚えられないなら、「自分で求めればいいじゃない」←！？

というわけで、公式を導いていく！

元本を$a$, 年利率を$r$, 年数を$n$としたとき、上記の公式は、

$$元利合計=a×(1+r)^n$$

となります。

$0$年後（$n=0$）は、元本だけなので、

$$元利合計=a$$

$1$年後（$n=1$）は、利息が元本に加わるので、

$$元利合計=a+a×r$$

$2$年後（$n=2$）は、上の$1$年後の元利合計に利率が掛かって加わるので、

$$元利合計=(a+a×r)+(a+a×r)×r$$

$3$年後（$n=3$）は、さらにこれに利率がかかるので、

\begin{eqnarray}
元利合計&=&\{(a+a×r)+(a+a×r)×r\}\\&+&\{(a+a×r)+(a+a×r)×r\}×r
\end{eqnarray}

一旦、ここで整理します。

$n=0$のとき

$$元利合計=a$$

$n=1$のとき

\begin{eqnarray}
元利合計&=&a+a×r\\&=&a×(1+r)
\end{eqnarray}

$n=2$のとき

\begin{eqnarray}
元利合計&=&(a+a×r)+(a+a×r)×r\\&=&a+ar+ar+ar^2\\&=&a+2ar+ar^2\\&=&a×(1+2r+r^2)\\&=&a×(1+r)^2
\end{eqnarray}

$n=3$のとき

\begin{eqnarray}
元利合計&=&\{(a+a×r)+(a+a×r)×r\}\\&+&\{(a+a×r)+(a+a×r)×r\}×r\\&=&(a+2ar+ar^2)+(a+2ar+ar^2)r\\&=&a×(1+2r+r^2)+a×(r+2r^2+r^3)\\&=&a×(1+3r+3r^2+r^3)\\&=&a×(1+r)^3
\end{eqnarray}

共通点が見えてきたので、さらに整理していく！

$n=0$のとき

$$元利合計=a$$

$n=1$のとき

$$元利合計=a×(1+r)$$

$n=2$のとき

$$元利合計=a×(1+r)^2$$

$n=3$のとき

$$元利合計=a×(1+r)^3$$

もっとだ！

$n=0$のとき

$$元利合計=a×(1+r)^0$$

$n=1$のとき

$$元利合計=a×(1+r)^1$$

$n=2$のとき

$$元利合計=a×(1+r)^2$$

$n=3$のとき

$$元利合計=a×(1+r)^3$$

あれ？　これって…

正真正銘、この形になりますね！

$$元利合計=a×(1+r)^n$$

$$元利合計={元本}×(1+{年利率})^{年数}$$

導出完了！

お粗末っ！

と、言いたいところだけど…！

ここまでだと、$3$年後までしか証明できてないんだよね～これが！

要は$10$年後も$100$年後も$1000$年後も$10000$年後も下記が成り立つとは言い切れないわけです。

$$元利合計=a×(1+r)^n$$

$$元利合計={元本}×(1+{年利率})^{年数}$$

というわけで、数学的帰納法で証明していく！

$n$年後の元利合計を$a_{n}$と置いて、

$n=0$から始まるすべての自然数$n$に関して、

$$a_{n}=a×(1+r)^n$$

が成り立つことを証明します。

$n=0$のとき

\begin{eqnarray}
a_{0}&=&a×(1+r)^0\\&=&a×1\\&=&a
\end{eqnarray}

なので、成り立ちます。

$n=k$のとき

$$a_{k}=a×(1+r)^k$$

が成り立つと仮定すると、

$n=k+1$のとき、

$$a_{k+1}=a×(1+r)^{k+1}$$

となることを、これから証明します。

上記の仮定より、

\begin{eqnarray}
a_{k+1}&=&a_{k}+a_{k}×r\\&=&\{a×(1+r)^k\}+\{a×(1+r)^k\}×r\\&=&a×\{(1+r)^k+(1+r)^k×r\}
\end{eqnarray}

このとき、二項定理より…

二項定理

\begin{eqnarray}
(a+b)^n&=&{}_n C_0a^{n}b^{0}+{}_n C_1a^{n-1}b^{1}+{}_n C_2a^{n-2}b^2+…+{}_n C_{n-1}a^{1}b^{n-1}+{}_n C_{n}a^{0}b^{n}\\&=&a^{n}+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2}a^{n-2}b^2+…+nab^{n-1}+b^{n}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
(1+r)^{k}=1+kr+\frac{k(k-1)}{2}r^2+…+kr^{(k-1)}+r^k
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
(1+r)^{k}×r=r+kr^2+\frac{k(k-1)}{2}r^3+…+kr^k+r^{(k+1)}
\end{eqnarray}

よって、

\begin{eqnarray}
(1+r)^{k}+(1+r)^{k}×r=1+(k+1)r+\frac{k(k+1)}{2}r^2+…+(k+1)r^k+r^{(k+1)}
\end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
a_{k+1}=a×\{1+(k+1)r+\frac{k(k+1)}{2}r^2+…+(k+1)r^k+r^{(k+1)}\}
\end{eqnarray}

一方で、

\begin{eqnarray}
(1+r)^{k+1}=1+(k+1)r+\frac{k(k+1)}{2}r^2+…+(k+1)r^k+r^{(k+1)}
\end{eqnarray}

となるため、

$$a_{k+1}=a×(1+r)^{k+1}$$

以上で、$n=0$から始まるすべての自然数$n$に関して、

$$a_{n}=a×(1+r)^n$$